阿基米德螺线弧长求法（圆柱电池极片长度计算方法）

电池卷芯是一种阿基米德螺线，根据相关理论，卷芯的半径 r 和总的旋转角度ϕ关系可由下式计算：

当卷芯内核卷针半径为r0时，有：

其中，ϕ 是卷绕旋转总角度，r0 为卷芯内核卷针直径，螺线参数 a 计算方法为：

t是卷芯中基本组成单元的厚度，对于圆柱形电池，t相当于正极、负极极片的厚度和两层隔膜的厚度，如图1所示。

图1 卷芯中基本组成单元的厚度

根据阿基米德螺线理论，根据下方公式分别计算内核弧线长度和整体的弧线长度，两者差值为正极长度，有：

常见的圆柱电池外径、壳体厚度和壳体内部空间直径如下表所示。

其中，卷芯内核卷针直径主要由两个方面决定：（1）卷芯中间空间能够将底部极耳焊接到电池壳体内部；（2）涂层电极不会开裂的最小弯曲半径决定。

举例说明，对于特斯拉采用的21700电池，参数为：

正极极片厚度174μm；

负极极片厚度143μm；

隔膜厚度10μm；

卷芯基本单元厚度t= (174+143+10*2)μm=337μm；

螺线参数 a=t /2π =53.66μm。

卷芯内核卷针直径为2mm，内核中空部分旋转弧度 ϕ= r/a = 1 mm / 53.66 μm = 18.63，对应的圈数为 ϕ/2π=18.63/(2*3.14)=2.97；

壳体内部空间直径为20.4mm，考虑到卷芯膨胀空间，卷芯直径为19.4mm，则包含空心内核的旋转弧度 ϕ= r/a = (19.4/2) mm / 53.66 μm = 180.77，对应的圈数为ϕ/2π=180.77/(2*3.14)= 28.77；

则正极实际卷绕圈数为 28.77-2.97=25.8。

根据以下公式

内核中空部分旋转弧线长 l=9.4mm

包含空心内核的旋转弧线长 l=874.2mm

则正极实际长度为 874.2 – 9.4 = 864.8mm

理论计算的正极长度与实际测量值 865mm 吻合。

公式比较复杂，进一步进行简化。

公式中，ϕ一般都比较大，比如21700电池ϕ=180.77，简化1+ϕ^2≈ ϕ^2，而且ln(ϕ+√(1+ϕ^2)) ≈ ln(ϕ+ϕ) ≈ ln(2ϕ)，其值为2~3，也忽略不计，则有

根据以上公式分别计算内核弧线长度和整体的弧线长度，两者差值约为为长度。因此，如图2所示，已知卷芯内核直径d，卷芯外径D，卷芯中基本组成单元的厚度t正极、负极极片的厚度和两层隔膜的厚度之和。

图2 卷芯示意图

极片长度的估算方法为：

还是以特斯拉采用的21700电池为例，

d=2mm

D=19.4mm

t=337μm

由公式计算极片长度L=867.8 mm

计算值与第一种方法所计算的864.8mm以及实际测量值865mm差别不大。