arccosx的不定积分怎么求（你知道怎么求正弦奇数幂和余弦奇数幂的不定积分吗？）

正弦或余弦的幂的不定积分必须分情况讨论。那奇数幂和偶数幂单独探究，结果是完全不同的。老黄准备在这里先给大家推导出奇数幂的公式，因为奇数幂的公式会比较简单。先求余弦的奇数幂的公式：

探究：求∫(cosx)^(2m+1)dx，m∈N*.

解：原积分=∫(cosx)^(2m)dsinx【这一步是凑微分】

=∫(1-(sinx)^2)^mdsinx

=∫∑(i=0->m)C(m,i)(-(sinx)^2)^idsinx【牛顿二项展开式的求和公式】

=∑(i=0->m)∫(-1)^i*C(m,i)(sinx)^(2i)dsinx【和的积分等于积分的和，积分和的线性法则的运用】

=∑(i=0->m)(-1)^i*C(m,i)(sinx)^(2i+1)/(2i+1)+C.【第一换元积分法的隐性运用，结合幂函数的积分公式】

用它来解一道例题试试吧！先用一般方法解，再直接运用公式解，比较一下：

例1：求∫(cosx)^5dx.

解1：原积分=∫(cosx)^4dsinx

=∫(1-(sinx)^2)^2dsinx=∫(1-2(sinx)^2+(sinx)^4)dsinx

=sinx+2(sinx)^3/3-(sinx)^5/5+C.【一般解法似乎也不难，那是因为m值小】

解2：原积分=∑(i=0->2)(-1)^i*C(2,i)(sinx)^(2i+1)/(2i+1)+C.【注意这里m=2而非5。这个结果就可以做答案了，展开结果和解1一致】

当m很大时，解法1就不灵了，比如下面这道例题：

例2：求∫(cosx)^99dx.

解：原积分=∑(i=0->49)(-1)^i*C(49,i)(sinx)^(2i+1)/(2i+1)+C.【一般解法解不出来，或者太麻烦了】

同理，可推出正弦奇数幂的积分公式如下：

∫(sinx)^(2m+1)dx=∑(i=0->m)(-1)^(i+1)*C(m,i)(cosx)^(2i+1)/(2i+1)+C.

正弦奇数幂公式也运用一下，做一道例题：

例3：求∫(sinx)^5dx.

最后是一道练习，这道练习并不是很容易，好好思考一下。

练习：求∫x^6*arccosxdx.

解：原积分=1/7*∫arccosxdx^7【凑幂函数的微分】

=1/7*x^7*arccosx-1/7*∫x^7*darccosx【这是分部积分公式的应用】

=1/7*x^7*arccosx-1/7*∫(cost)^7dt【换元t=arccosx，结果得到余弦的7次幂的不定积分，可以直接运用公式一，m=3】

=1/7*x^7*arccosx-1/7*∑(i=0->3)(-1)^i*C(3,i)(sinx)^(2i+1)/(2i+1)+C

=1/7*x^7*arccosx-1/7*∑(i=0->3)(-1)^i*C(3,i)√((1-x^2)^(2i+1))/(2i+1)+C.

这样的结果，不用老黄的公式，估计很难解出来。这道练习题还隐含着另外一个公式，就是偶数幂函数与反余弦（或反正弦积）的公式。